初中数学平面几何20题


来源:成都家教网 日期:2012年10月30日 点击:758次 分类初中学习 上一篇人教社推出首套传统文化教... 下一篇教员如何与家长(学员)沟...

1、三角形ABC,AD为中线,PAD上任意一点,p的直线交ABM.acN,AN=AM,求证PM/PN=AC/AB

证明:过P点作BC的平行线交AB,AC分别于M',N'点;再分别过M,M'两点分别作AC的平行线分别交AD(或延长线)于P',A'两点。

M'N'平行BC得:AC/AN'=AB/AM',AC/AB=AN'/AM'.M'P=N'P

由三角形AN'P全等三角形A'M'P得:M'A'=AN'.所以,AC/AB=A'M'/AM'

由三角形AM'A'相似三角形AMP'得:AM/AM'=MP'/A'M',A'M'/AM'=MP'/AM

所以:AC/AB=MP'/AM

由三角形MP'P相似三角形ANP得:MP'/AN=MP/PN

AN=AM

所以:MP'/AM=MP/PN

所以:AC/AB=MP/PN

1题图          2题图

2、在三角形BCD,BC=BD,延长BCA,延长BDE,使AC=BE,连接AD,AE,AD=AE,BCD为等边

证明:过点ACD的平行线交BE的延长线于F点。则BDC=F=BCD=A,即A=F.

又因为:四边形AFDC是梯形

所以:AC=DF=FE+DE

AC=BD+DE

所以:BD=FE

又因为:AD=AE,BDA=FEA

所以:三角形ABD和三角形AFE全等

所以:B=F

所以:B=BCD=BDC=60°

所以:三角形BCD是等边三角形。

3三角形ABC中若圆O在变化过程中都落在三角形ABC(含相切), A60,AC8,AB10,X为未知数,AE的长.OAB,AC相切,OAB的切点为E, X的范围是?
解:如图,当元O与三角形ABC三条边都相切时,x的值较大。此时:
BBD垂直AC,则可求得BD=5(√3),DC=3
根据勾股定理求得BC=2(√21)
设元O与边AB,BC,CA的切点分别为E,F,G,AE=x,BE=y,CF=z,则有方程组:
x+y=10,x+z=8,y+z=2(√21),
解这个方程组得:x=9-(√21)
因此:x的范围是(09-√21 ]

 

4已知三角形ABE C D分别为ABBE上的点,且AD=AE,三角形BCD为等边三角形,求证BC+DE=AC

证明:D点作BE的垂线DF,ABF点,过A点作BE的垂线AH,H是垂足,再过F点作AH的垂线FG,G是垂足。

则:四边形DHGF是矩形,有FG=DH.

而由ADE是等腰三角形得知DH=HE,

所以:FG=(1/2)DE.

又由于角B=60°

所以:BAH=30°

所以:FG=(1/2)AF

所以:AF=DE

而在直角BDF中,由于B=BDC=60°

所以:CDF=CFD=30°

所以:CF=CD=BC

所以:BC+DE=CF+AF

即:BC+DE=AC

5已知在三角形ABC,ADBC边上的中线,EAD上的一点,BE=AC,延长BEACF,求证AF=EF

证明:如图,连接EC,EC的中点G,AE的中点H,连接DG,HG

则:GH=DG

所以:角1=2

1=42=3=5

所以;4=5

所以:AF=EF.

6在△ABC中,DBC边中点,OAD上一点,BO,CO的延长线分别交AC,ABE,F 
求证:EF平行BC

证明:分别过B,C两点作AD的平行线分别交CF,BE的延长线于M,N两点。则:

四边形MBCN是平行四边形。

MBAOCN,得:OF/FM=OA/BM,OE/EN=OA/CN.(相似三角形对应边成比例)

BM=CN

所以:OF/FM=OE/EN

所以:MNEF

MNBC

所以:EFBC.

7、已知:在ABCA'B'C'中,AB=A'B', AC=A'C'.ADA'D'分别是ABCA'B'C'的中线,且AD=A'D'.

求证:ABC≌△A'B'C'

证明:分别过B,B'点作BEAC,B'E'A'C'.AD,A'D'的延长线于E,E'点。

则:ADC≌△EDB, A'D'C'≌△E'D'B'

所以:AC=EB,A'C'=E'B' AD=DE, A'D'=D'E'.

所以:BE=B'E', AE=A'E'

所以:ABE≌△A'B'E'

所以:角E=E'   BAD=B'A'D'

所以:角BAC=B'A'C'

所以:ABC≌△A'B'C'

8四边形ABCD为菱形,E,FAB,BC的中点,EP⊥CD∠BAD110º,求∠FPC的度数

解:

连接BD,ACO点,过ACD的垂线,垂足为G,OBC的平行线交CDH.

因为:角DAB=110°GAB=90°

所以:DAG=20°

AOD=AGD=90°AOGD四点共元,所以DOG=DAG=20°

OHBCAD知:HOC=DAC=(1/2)BAD=55°

所以:GOH=90°-20°-55°=15°

而:OHG=BCD=110°

所以:OGH=180°-15°-110°=55°

由于:不难证明FPC=OGH  (过程略)

所以:FPC=55°

9已知:E是正方形ABCD内的一点,且∠DAE=ADE=15°

求证:EBC是等边三角形

证明:过E点作AB的平行线EP,BCP点,交ADQ点,以D为角顶点,DA为角的一边,向正方形ABCD内作ADF=30°,角的一边交EPF点。

DQ=√3,则:FQ=1, DF=2, AD=2√3 PC=PB=AQ=√3,

由角平分线定理得:QE/EF=QD/DF,

即:QE/(1-QE)=(√3)/2

解得:QE=2(√3)-3

所以:PE=PQ-QE=2(√3)-[2(√3)-3]=3

EPC中由勾股定理得:EC=√PE²+PC²=2√3

而:BE=CE

所以:BC=BE=CE=2√3

即:EBC是等边三角形。

10、在三角形ABC,经过BC的中点M,有垂直相交于M的两条直线,它们与AB,AC分别交于DE,求证,BD+CEDE

证明:

如图,延长EME',使E'M=ME,则:DE=DE',

BE'M≌△CEM得:CE=BE'

BE'D中,有BD+BE'>DE'

等量代换得:BD+CE>DE

11AB是等腰直角三角形ABC的斜边,若点M在边AC上,点N在边BC上,沿直线MN△MCN翻折,使点C落在AB上设其落点

1.如图一,当是AB的中点时,求证:PA/PB=CM/CN
2.如图二当P不是AB中点时,结论PA/PB=CM/CN是否成立?若成立,请给出证明

1)、证明:因为PAB中点,

所以:AP/PB=1,

因为:P点是C点沿直线MN折叠的落点,

所以:MN垂直平分PC,

所以:CM=MP,

AP=BPACP=BCP=45°

所以:CM=MN

所以:CM/CN=1

所以:PA/PB=CM/CN

 

2)、结论仍然成立。

证明:

P点分别作AC,BC的垂线PE,PD.E,D是垂足。过CCF垂直AB,F是垂足。则:

SAPC=(1/2)AC*PE=1/2)AP*CF

SBPC=(1/2)BC*PD=(1/2)BP*CF

AC=BC

所以:PE/PD=AP/BP

 

MCN=MPN=90°MCNP四点共元

所以:PME=PND

所以:RTPEMRTPDN

所以:PE/PD=PM/PN

PM=MC,PN=NC

所以:PE/PD=MC/NC

所以:AP/BP=MC/NC

12三角形ABC中,BC=5MI分别是三角形ABC的重心和内心,若MI平行于BC,AB+AC的值是多少?

解:

设内心到三边的距离为rBC边上的高为AE=h,

如图。因为MIBC,AM=2MD

所以:h=3r

而:SABC=(1/2)BC*h=(5/2)h=(15/2)r

SABC=SABI+SBCI+SACE=(1/2))r(AB+AC+5)

所以:(15/2)r=(1/2))r(AB+AC+5)

解得:AB+AC=10

13、已知圆O是三角形ABC的外接圆 CDAB边上的高,AE是圆O的直径。求证:AC*BC=AE*CD

证明:

E为圆心,以BC长为半径画弧交元OF点。连接EF,FA.则:EF=BC,AFE=90°

所以:EAF=DAC (弦相等,弦所对的圆周角相等)

所以:RTADCRTEFA

所以:AC/AE=CD/EF  AC*EF=AE*CD

而:EF=BC

所以:AC*BC=AE*CD

14、已知:D.EABC内的两点

求证:AB+AC>BD+DE+EC

证明:设直线DEABF,ACG,则:

AFG中,有AF+AG>FD+DE+EG

BFD中,有BF+FD>BD

EGC中,有EG+GC>EC

所以:三个不等式两边相加得AF+AG+BF+FD+EG+GC>FD+DE+EG+BD+EC

即:AB+AC>DE+BD+EC

15、在三角形ABC,BD,CE是边AC,AB上的中点,BDCE相交于点O,BOOD的长度有什么关系?BC边上的中线是否一定过点O?为什么?

答:BO=2DO,BC边上的中线过O点。

 

证明:连接AO,M,N分别是BO,CO的中点,连接EM,DN,则:

EM平行并等于AO的一半,DN平行并等于AO的一半

所以:EM平行并等于DN

所以:四边形EMND是平行四边形

所以:MO=OD

所以:BM=MO=OD

所以:BO=2DO

 

延长AOBCG,延长DNBCH,延长EMBCQ,则:

AGEQDH,BM=MO=OD得知BQ=QG=GH=HC

所以;BG=GC

所以;BC边上的中线过O点。

16、在ABC中,AB,BEABC的高,交于点H,边BC,AC的垂直平分线FO,GO相交于点O
求证:OF=1/2AH,OG=1/2BH

证明:连接CO并延长交ABC的外接圆于M点。则:OC是元的直径。

OF=(1/2)BM,

MBC=MAC=ADB=BEA=90°

所以:BMAD,AMBE

所以:四边形MBHA是平行四边形

所以:BM=AH

所以:OF=(1/2AH.

 

同理可证:OG=(1/2)BH.

17、三角形中线分别为9 12 15  求三角形面积

解:过F点作AE的平行线,交DCH点,

则:FH=1/2)AM=5,  MH=3,(三角形中位线定理,三中线交点分中线性质)

而:MF=4

所以:三角形FMH是直角三角形,即BMDC.

所以:SBCD=(1/2)*9*8=36,

所以:SADC=SBCD=36  (同高等底的两个三角形面积相等)

所以:SABC=72

18在△ABCA=90°ADBCDMAD的中点,延长BMACE,过EEFBCF。求证:EF²=AE*CE

证明:如图,延长BA,FE交于N.

因为:ADFN

所以:AM/NE=BM/BE,MD/EF=BM/BE

所以:AM/NE=MD/EF

而:AM=DM

所以:NE=EF

 

由于:角NAC=NFC=90°

所以:AFCN四点共圆

所以:AE*EC=EF*EN

 

所以:EF^2=AE*EC

19、已知E为平行四边形ABCD的边BC上的任一点,DE延长线交AB延长线与F,求证S△ABE=S△CEF

证明:分别过C,E两点作AB的垂线CH,EG,H,G是垂足。设BE=m,EC=n

BFE∽△CDE得:BF/CD=m/n.BF/(BF+CD)=m/(m+n)

也就是BF/AF=m/(m+n)  (因为AB=CD,有AF=BF+CD)

RTBEGRTBCH得:HC/GE=(m+n)/m

所以:(BF/CD)*(HC/GE)=1

而:SAFE=(1/2)AF*GE

    SBFC=(1/2)BF*CH

所以:SBFC/SAFE=BF*HC/AF*GE=1

所以:SBFC=SAFE

两边同时减去SBFE得:SABE=SCEF

20、等腰直角三角形,角A90°DE两点为斜边上的动点,角DAE=45°,当DB重合或EC重合时,线段DE的长度等于BD+EC
当不重合时,DE<BD+CE.

证明:不重合时。

A点为顶点,AC为一边向ABC的外侧作CAB',使CAB'=DAB.截取AB'=AD.

又因为:AC=AB.

所以:CAB'≌△BAD

所以:B'C=DB

 

因为:BAC=90°DAE=45°

所以:BAD+CAE=45°

所以:B'AE=B'AC+CAE=45°=EAD.

AD=AB',AE=AE

所以:B'AE≌△DAE

所以:DE=EB'

ECB'中,有EB'<EC+CB'

EB'=DE,CB'=BD

所以:DE<CE+BD

重合时,证明(略)